旋转椭圆参数方程,椭圆的参数方程是什么
一、椭圆的参数方程是怎样的
椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ。
(一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上)
r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)
(e为椭圆的离心率=c/a)
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的值时,用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解
x=a×cosβ, y=b×sinβ a为长轴长的一半
相关性质
由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥曲线(也称圆锥截线)。
例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知:截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点
用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆
例:已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
1.求椭圆C的方程.
2.直线l:y=x+1与椭圆交于A,B两点,P为椭圆上一点,求△PAB面积的大值.
3.在⑵的基础上求△AOB的面积.
一、分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a,端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义),可知a=√3,又c/a=√6/3,代入得c=√2,b=√(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1,
二、要求面积,显然以ab作为三角形的底边,联立x^2/3+y^2/1=1,y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值)弦长=3√2/2,对于p点面积大,它到弦的距离应大,假设已经找到p到弦的距离大。
过p做弦的平行线,可以发现这个平行线是椭圆的切线是才会大,这个切线**平行故斜率**的斜率=,设y=x+m,利用判别式等于0,求得m=2,-2.结合图形m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5)。
三、直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求得√2/2,面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4。
扩展资料
1、范围:焦点在x轴上-a≤x≤a-b≤y≤b;焦点在y轴上-b≤x≤-b-a≤y≤a
2、对称性:关于X轴对称,Y轴对称,关于原点中心对称。
3、顶点:(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b)
4、离心率:e=c/a
5、离心率范围 0<e<1
6、离心率越大椭圆就越扁,越小则越接近于圆
7.焦点(当中心为原点时)(-c,0),(c,0)
参考资料:椭圆的百度百科
二、椭圆的参数方程是怎么证明出来的
椭圆的参数方程推导过程:
(1)的平方加(2)的平方
化简得:
证明:将任意一点P的坐标(Rsinθ-c,Rcosθ)代入方程
=
说明P点是椭圆标准方程上的一点。
扩展资料:
常见的参数方程——
曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。
圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π))(a,b)为圆心坐标,r为圆半径,θ为参数,(x,y)为经过点的坐标。
椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ(θ∈[0,2π)) a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数。
双曲线的参数方程 x=a secθ(正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长θ为参数。
抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数。
直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数。
或者x=x'+ut, y=y'+vt(t∈R)x',y'直线经过定点(x',y'),u,v表示直线的方向向量d=(u,v)。
圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ) y=r(sinφ-φcosφ)(φ∈[0,2π)) r为基圆的半径φ为参数。
三、椭圆的参数方程是什么
参数方程:
x= a*cost
y= b*sint
注意,t不是α
y/x= tg(α)= b/a* tg(t)
所求为:
r^2= x^2+ y^2= a^2*(cost)^2+ b^2*(sint)^2=
(cost)^2* [a^2+ b^2*(tgt)^2]=
(cost)^2* [a^2+ a^2* tg(α)^2]=
(cost)^2/(cosα)^2* a^2=
另一方面,
a^2/b^2* tg(α)^2= tg(t)^2====>
a^2/b^2* tg(α)^2+ 1= 1/(cost)^2====>
[ a^2*(sinα)^2+ b^2*(cosα)^2 ]/ b^2=(cosα)^2/(cost)^2====>
r^2= a^2* b^2/ [ a^2*(sinα)^2+ b^2*(cosα)^2 ]
再开方就得到距离。
扩展资料:
椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a,F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。
又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n)。即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ, y=bsinθ。
标准形式的椭圆在(x0,y0)点的切线就是:xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是:-b²x0/a²y0,这个可以通过复杂的代数计算得到。
半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆,该斜平面与水平面的夹角为α,截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f(c)=r tanα sin(c/r)。
参考资料来源:百度百科--椭圆
参考资料来源:百度百科--椭圆的标准方程
四、椭圆的参数方程的推导
随圆的参数方程推导过程是(2a-R)cosp=2c-Rsin0。(2a-R)sinq=Rcos0。
椭圆参数方程是以焦点(c,0)为圆心,R为变半径的曲线方程。设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离和为2a(2a>2c)。
a为长半轴长度,b为短半轴长度,c为焦距的一半;R为椭圆上的点P(x,y)到焦点(c,0)的距离,θ为椭圆上点P(x,y)与焦点(c,0)的连线与y轴夹角,ф为椭圆上点P(x,y)与焦点(-c,0)的连线与x轴夹角。
椭圆是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。椭圆是封闭式圆锥截面:由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处:抛物线和双曲线,两者都是开放的和**的。
椭圆也可以被定义为一组点,使得曲线上的每个点的距离与给定点(称为焦点)的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行(称为directrix)是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。也可以这样定义椭圆,椭圆是点的**,点其到两个焦点的距离的和是固定数。
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